这，才是数学！数学怎么学？有什么用？什么是数学思维？（什么是数学的思维方式）
“哎……”
旁白：“是谁，一声叹息，如此沉重？”
作者：“像是来自虚空？”
旁白：“什么是虚空？”
数学：“我来自虚空，来自看似无实则有的虚空。”
旁白：“你说得太复杂了，我听不懂。你为何叹息？”
数学：“新学期开始没几天，我又遭受了无数次无辜的谩骂。”
旁白：“哈哈，也不能怪他们咒骂你，我也想骂你，你太难理解了，而且没有用，还要记一堆东西。”
作者：“这不是数学的错，这是数学教育的错，数学不是记忆，数学是探索。”
“呜呜……”听到作者如此说，数学嚎啕大哭。
旁白：“你哭什么？”
数学：“终，得遇知音。太感动了。我可以回到虚空了，再见了……”
旁白：“等等，我还想听听你的想法呢？我说数学没有用。”
作者：“数学离开了，她已经遁入虚空，就由我来回答你的问题。没有数学，飞机就上不了天，没有数学，你也不能通过手机等媒介看到我的文章，没有数学……”
旁白：“等等，这个我知道，科学的发展离不开数学。我是说数学对我们普通人来讲没有用。”
作者：“那是因为你没有接触数学的本质，数学的本质是探索，是思维的游戏。后面我会为你详细解释。”
旁白：“我姑且相信你说的，假设数学真的有用，我们普通人学点加减乘除就可以了啊，没有必要学习三角函数，微积分这些啊，工作之后完全没有用到。”
作者：“那是知识没有用，不是数学没有用。知识只有在特定领域才能发挥作用。”
旁白：“这句话作何理解？”
作者：“你且听我慢慢为你分析。”
旁白：“好的，那数学到底应该怎么学？学什么？”
作者：“待我徐徐说来。”
……
这篇文章会比较长，耗费的时间比较多，且慢慢的读。
首先，先说一下怎么学？
（一）吃透基本概念
为什么憎恨数学？最主要的一个原因是不理解数学概念，需要去记忆数学概念。
让我们再度穿越历史的长河回到过去，回到那个数字没有被发明创造的时代。碰巧在那个狩猎时代，你负责看守打回来的猎物，起初有一个猎物进来你就摆一颗石头，后来，由于需要向酋长汇报，没法把石头一股脑儿搬过去。
后来你进一步想（你是个跨越千年的不死老妖，哈哈），想到了用绳子打结，多了一只猎物就在绳上打个结，这个方法果然方便了很多。但是随着族群的壮大，新的问题随之而来，猎物越来越多，绳子越来越长，你带着绳子向酋长汇报显得不可能了，而且每次都要数绳结不胜其烦。
你又发挥你聪明的大脑继续想，你想到发明符号来代表数量，有一只猎物划一竖，就像“////”这样，随着时间的推移，你发现这样虽然和结绳比起来方便了很多，但是依然有一个问题，数量很大很大的时候，需要刻画很多很多个“/”。另外一个问题，很不不直观，数“////////////////////////”数和“////////////////////////”哪个数大?大多少?很难计算出来。
你没有停下思考的脚步，继续向前迈进，分别用符号“123456789”表示“/”~“/////////”，到了这里就已经和现代计数系统很像了，这里再次遇到了一个难题，大于9的数怎么表示?是继续创造新的字符往下么，比如“a”，“b”……如果这样的话又变成了穷举法，数字可以大多无穷，穷尽所有的字符都无法完整表示，而且又将陷入上面的问题，无法计算，比如比较大小。所以，你放弃了这条路，你打算用现有的这些符号来组合，于是乎，数位的概念就可以应运而生了，数字在不同的位置上代表着不同的含义，比如11可以表示“///////////”这个数，以此类推，而且有了这个位置的概念，再大的数也可以表示，无非是百位，千位等位置上放上数字，再小的数也可以表示，无非是在十分位，百分位等位置上放上数字。
这一套数字系统非常方便计数，非常方便比大小，非常方便扩展，而且这套计数系统可以成为人类乃至从古至今通用的语言，所以，不是数学家创造了数学，而是历史的选择。
能深刻的理解这套数字系统，由“0~9”这个十个符号来表示数，那么，出现这样的题——由“0~5”这六个字符来表示数，也就可以顺利解答了。比如：
图中有几个苹果，用“0~9”这个十个字符来表示，很简单，为7个。用“0~5”这六个字符表示呢？由于，六个字符，如果不考虑组合的方式，最多只能表示“六“个苹果，由于，0表示没有，图中苹果的数量为11个。
我们再从“有用”的角度看，为什么需要吃透概念，数字系统的诞生看似偶然，实则是必然的结果。从吃透基本概念中，你可以学会从无数个偶然事件中看必然结果，而这个思维在研究历史时必然需要用到，天下分久必合，合久必分，这是现象，其背后的必然性是什么？
（二）从上层建筑入手
从上层建筑开始，以思维为纽带把知识点串联起来，这如何理解？数学中有一个最重要的思想，数形结合，我们顺着数形结合的思想做一下解释。
当我们看到(a b)^2=a^2 b^2 2*a*b这个等式，甚是疑惑。
“这个等式的成立，我也表示很疑惑。”数学说。
作者：“你怎么又出来了？”
数学：“在虚空中比较烦闷，出来晃悠晃悠。”
作者：“……”
不管三七二十一，我们通过数形结合看一下，把这个等式用图的方式表达，画出来一看，一目了然。
有了数形结合的思想，我们再来看乘法分配律，aX(b c)=aXb aXc，是不是很容易理解了？
两个看似毫无关联的知识点，可以通过数形结合思想为纽带产生联结。我们来看一个更有意思的案例。
其中，i=√-1,也就是虚数单位。这个数列乍看起来比较简单，用语言描述起来，如果n为偶数，则bn为 1或者-1；如果n为奇数，则bn为 i或者-i。看起来是一个周期数列，周期为4。这可以是一个解，那我们顺着数形结合的思想看一下，会产生什么神奇的结果。考虑一下从复平面的角度入手。什么是复平面呢，以x轴为实数轴，以y轴为虚数轴而组成的坐标平面，这样的话，所有的复数就可以表示为平面上的一个点了，即x yi等价于（x,y）坐标。对应到我们题中的数列，我们稍加整理一下我们的数列，则为1 0i,0 1i,-1 0i,0-1i,1 0i,0 1i,-1 0i,0-1i,…这个数列可以用如下的坐标表示（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1），（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1）,…
这些点，能让你想到什么？是不是可以想象它是正方形的顶点?是不是也可以想象它是单位圆上的点?我们不妨把它画出来。
一般，单位圆，又可以用公式如下欧拉公式来表示。
如此看来，则四个点就可以如此表示了。
所以，最终的通项式可以表示为这个形式。
没有数形结合在这些知识点之间做联结，恐怕很难会想到一个数列的问题，可以和欧拉公式产生联系，可以和单位圆产生联系。所以，这就是我们上面提到的从上层建筑入手的意义。
（三）养成“提问”习惯 发现“科学之美”
怎么问？问什么？问一些违背直觉的问题，问一些司空见惯的问题。
为什么一个数的零次幂必须等于1，为什么不等于0？顺着这个直觉，任意一个数的零次幂，m的零次幂，即零个m相乘，直观地看上去应该是0，就像任意数乘以零，理解为零个数相加等于零一样，而不应该是1。多问为什么，就有了探索的动力。像量子力学，光速不变原理，有诸多看起来违背直觉的问题，自然也就有了强烈的求知的欲望。
（四）归纳作结
怎么做？围绕着不同的维度去总结学过的东西，可以围绕着数学思想，可以围绕着知识点，可以围绕着方法等等，知识体系在归纳总结中不断地交织融合，不断地产生联想与发散。
比如围绕着数学思想进行总结：
比如，围绕着知识点进行总结：同底等高的平行四边形面积关系（其中，长方形是特殊的平行四边形）如下图所示。
顺着这个知识点总结：如下这些题都可以放在一起学习。
第一部分，我们主要回答了，数学怎么学，大体就从这几个方面说明一下，不限于这几个方面。第二部分，我们将主要从数学思维的角度来说明数学有什么用。
数学有什么用，本身不应该成为一个问题，这是一个荒谬的问题，撇开数学在科学发展中的应用不谈，数学和音乐、绘画、读书一样，首先是愉悦自我，探索数学问题本身就是一件充满乐趣的事，当然这是对数学爱好者而言，我们今天主要是面向被错误数学观念给折磨得痛苦不堪的人来谈谈数学的有用。
旁白：“我现在已经不用学数学了，我就是那个被数学折磨得痛苦不堪的人，你说不是数学没有用，是知识没有用，我已经迫不及待的想看你如何为数学辩解。”
作者：“好的，我将主要从数学思维的角度来辩解。”
数学有什么用？
（一）抽象思维
依照惯例，我们先介绍数学思维，以及在数学中应用，然后再看其推广到其他领域中的应用。
从前，普鲁士王国的首府柯尼斯堡，有一条名为普列戈利亚河的大河流经，位于河中央的小岛上。
当时，这条普列戈利亚河上总共建了七座桥，而不知从什么时候，人们开始热烈地讨论起一个话题：“假设可以从任何一座桥出发，请问在七座桥都走且只走一遍的前提下，怎么回到出发点？”
在解决这道题时，欧拉把市区、桥和河川的关系，简化为下面的图像。
通过建立了这个“图模型”，得出“无法在七座桥都各走一遍的前提下回到出发点”的结论。那么，欧拉是怎么证明的呢？欧拉进一步做了一个模型，分两种情况看，奇点情况和偶点情况。
有了模型化思想，我们能做啥？
初中物理中要学习电路分析，电路分析也是一个非常典型的模型化思想，把复杂的实物电路模型化——用图的方式表示处理。
把实际的电路图，用抽象的图来表示，去掉无关紧要的因素，再借助类比思想，把电流类比为水流，用更直观的方式来分析电路图，初中是这么分析，上了大学电路也是用这种方式分析。
旁白：“等等，你这个说的是有道理，的确这个数学思维很有用，但是这个还是在学习理科中的应用，对于普通人有什么用呢？”
作者：“那么我们看看，在工作中的应用，如何？”
在写程序中就会经常使用管道模型这个模型化思维。
我之前做过的一个数据采集工具，就是借助了管道模型的思想，这样做可以实现过程解耦，逻辑看起来也会很清晰。
（二）对比思维
我们从最简单的一个问题看，乘法交换律。
在小学时，我们就学过，设a,b为整数，则有a×b=b×a。到了中学，会进一步扩展，会学到无理数，对比着看，整数和无理数性质没有太大的差异，都可以在轴上任意表示出来，既然整数满足乘法交换律，无理数理应满足。无理数乘法交换律可以用不严谨的方法简单证明一下，即通过长方形面积公式，对于一个长方形而言，长为a,宽为b，其中，a,b都是无理数，其面积为a×b，另一个长方形长为b,宽为a,其面积为b×a，这两个长方形面积相等，由此，可知无理数满足乘法交换律。
到了大学学我们会学习到虚数，自然而然地我们应该把虚数和实数对比着学习，虚数和实数相比也有相似之处，从复平面的角度看，实数是实数轴上点，一般用x轴表示，虚数是虚数轴上的点，一般用y轴表示。既然，两者如此相似，自然而然地我们应该想到虚数也应该满足乘法交换律。
线性代数中也有乘法，矩阵的乘法，看到乘法，我们自然而然的会想，矩阵中的乘法满足交换律么？答案是不满足，这个证明过程我就不再赘述。再比如群论中，辫群也是不满足乘法交换律的。
从整数的研究到负数，继而到无理数，再到虚数的研究就是在对比思想引导下推进前行，学习也应该在对比思维引导下把这些知识串联起来。
有了对比思维，我们能做什么？
在中学阶段学习化学将大有裨益。我们透过一个小案例分析一下，先来看一下化学元素表。
先问大家一个问题:“化学元素表为什么要这样排列?”各位看官可以先思考一下。
好了，我们直接来看，最直观的原因是同一列元素其外层电子数一样的，外层电子数一样意味着什么呢？哈哈，不用我说，各位看官应该也能猜到外层电子数相同，其化学性质会有相似性。因此，化学最适合通过对比思想来学习的一门科目了。
比如，纳和锂，最高正价都是 1价，表现出相似的氧化还原性质，都容易和氧气发生反应；它们的化合物都是强电解质，溶于水时释放出离子，具有相似的水解性质；他们的化合物都有碳酸盐，能与酸反应生成二氧化碳；它们的化合物都属于强碱弱酸盐等等。现在的新能源汽车已成燎原之势，现在最热门的电池是锂离子电池，目前也有在研究钠离子电池，为什么研究钠离子电池呢？看一眼元素周期表或许就能明白了钠和锂在同一列，其化学性质有诸多相似性，那么，研究钠离子电池也就是顺理成章的事情了。我们人类是碳基生命，而计算机是硅基，对比着看，或许不久的将来硅基将会诞生意识，今年ChatGPT一度被按下暂停键，就是人类担心硅基生命有了意识，那将是一件非常可怕的事，人类或许会有灭顶之灾。
我们主要从数学思维层面来说明数学有用，当然，数学思维远不止我文中提到的数形结合、归纳推理、抽象化、对比等思维模型，还有诸如化整为零，微积分等思维模型，这里我们就不一一而足了，毕竟这篇文章已经写的很长了。
旁白：“等等，我正在兴头上，不能就此结束。”
数学：“对啊，我也是，你再讲讲嘛，我还是第一次听到有人为我做如此多的辩解。意犹未尽啊。”
作者：“不行了，我实在是讲不动了，来日方长。”
